§1 Цепи Маркова

1.1 Основные понятия

В этой главе мы будем рассматривать некоторую систему ξ(t), которая в любой момент времени может находиться в одном из состояний S1, S2, …, Sk, и ξ (t) – это номер состояния, в котором система находится в момент t. Причём состояние системы отслеживается только в отдельные моменты времени {0, Dt, 2×Dt, 3×Dt,…}. В эти моменты времени система может переходить из одного состояния в другое. Т.е. время в этой модели дискретно.

Пример 1. Рассмотрим состояния, в которых может находиться студент:

S1 – студент учится и не получает стипендию;

S2 – студент учится и получает стипендию;

S3 – студент отчислен.

Состояние студента может меняться после сессии раз в семестр, т.е. шаг Dt в примере – семестр, и здесь t – номер семестра.

Рассмотрим вероятность: P{ξ(t1) = i1 , ξ(t2) = i2 ,…, ξ(tr) = ir }.

Определение 1. Случайный процесс называется однородным (стационарным) или стандартным, если для любых t1, t2 … и T>=0 выполняется равенство:

(1.1) P{ξ(t1) = i1 ,…, ξ(tr) = ir } = P{ ξ(t1 + T) = i1 ,…, ξ(tr + T) = ir} , т.е. вероятность перехода из состояния i1 в состояние irза время T зависит только от величины T и не зависит от положения интервала на временной оси. В дальнейшем мы будем изучать только однородные (стационарные) процессы.

К примеру, стандартным процессом можно считать колебания курсов валют на небольшом отрезке времени.

Обозначим

(1.2) pij(t) = P{ξ(t) = j / ξ(0) = i} – вероятность перейти из состояния i в состояние j за t шагов.

Определим также

(1.3) Pij = Pij (1) – вероятность перейти из состояния i в состояние j за один шаг.

Определим также распределение вероятностей в начальный момент времени:

(1.4) pi0 = P{ξ(0) = i}

Определение 2. Однородный процесс с дискретным временем называется Марковским или Марковской цепью с дискретным временем, если выполняется равенство:

(1.5)

 

Утверждение 1. (Марковское свойство). Пусть дана Марковская цепь с дискретным временем, тогда справедливо равенство:

(1.6) P{ξ(t) = it / ξ(t–1) = it-1,ξ(t–2) = it-2 ,…, ξ(0) = i0} = P{ξ(t) = it / ξ(t–1) = it-1}

Смысл: P (будущее/настоящее и прошлое) = P {будущее/настоящее}, т.е. в Марковских цепях будущее не зависит от прошлого, оно зависит только от настоящего. Такие системы ещё называются системами без памяти.

Часто Марковскую цепь удобно задавать при помощи графа переходов. При построении такого графа каждому состоянию ставится в соответствие вершина. Если из состояния si система переходит в состояние sj с ненулевой вероятностью , то из вершины, соответствующей si, проводится стрелка в вершину sj, помечаемая величиной ; если , то стрелку не проводят.

 

1.2 Матрицы переходов

Определим матрицу переходов за n шагов (1.7) и матрицу переходов за один шаг (1.8) следующим образом:

 (1.7)     (1.8)

 

Пример 2. Воспользуемся состояниями студента из Примера 1. Из многолетнего опыта известно, что матрица переходов за один шаг:

Пусть начальное распределение: P0= (0,6; 0,4; 0). Найти вероятность того, что студент получает стипендию в течении двух первых семестров.

Решение: Надо найти: P{ξ(1) = 1, ξ(2) = 1} = {1.7} = P10 × P11 × P11 = 0,4 ×0,4× 0,79.

 

Утверждение 2. Пусть дана Марковская цепь с дискретным временем с состояниями S1Sk, тогда справедливо равенство:

(1.9)

Доказательство: Формула полной вероятности: . Обозначим через  A = {система перешла из состояния i в состояние  j за (s + t) шагов}, Hr = {система перешла из состояния i в состояние  r за S шагов}.

P(A) = Pi j(s + t) (*)

P(Hr) = Pi r(s) (* *)

P(A / Hr) = Pr j(t) (* * *)

Подставим (*), (**), (***) в формулу полной вероятности и получим (1.9)

 

Теорема 1.(Основное свойство Марковских цепей с дискретным временем):

(1.10) P(n) = Pn, где слева матрица перехода за n шагов, справа – матрица перехода за 1 шаг.

 

Утверждение 3. Пусть дана Марковская цепь с состояниями S1Sk, заданная матрицей переходов P, и задано начальное распределение вероятностей p0=(p10 ,p20 ,…, pk0). Распределение вероятностей через n шагов можно вычислить по формуле:

(1.11) , где pi(n) = P{ξ(n) = i} – вероятность находиться в момент времени n в состоянии i.

 

Пример 3. На некотором острове в Северном море 30% женщин рыжих. Известно, что у рыжей матери  с вероятностью 0,6, а у не рыжей матери с вероятностью 0,2 рождается рыжая дочь. Найти вероятность того, что у не рыжей бабушки будет рыжая внучка.

Решение: Опишем процесс наследования цвета при помощи Марковской цепи. Составим матрицу переходов за 1 шаг, введя состояния: S1 – рыжая,  S2 – не рыжая, тогда матрица переходов за один шаг, где шаг – одно поколение:

Начальное распределение имеет вид: P10 = 0,3;   P20 = 0,7. Надо найти P21(2). По теореме 1

=> P21 = 0,28

В условиях этой же задачи найдем вероятность того, что у случайно выбранной женщины будет рыжая внучка. Обозначим события: H1 – бабушка рыжая, H2 – бабушка не рыжая. Тогда

P{рыжая внучка}= P(H1) * P11(2) + P(H2) * P21(2) =

= 0,3 * 0,44 + 0,7 * 0,28 = 0,132 + 0,196 = 0,328

Решить эту задачу можно другим способом, если воспользоваться Утверждением 3, тогда надо найти:

Нам надо P1(2)=0,328.

 

1.3 Предельные вероятности в Марковских цепях

Рассмотрим Марковскую цепь с состояниями S1, S2, … Sk.

Определение 2. Если для всех i, j=1,…,k существует предел  , причем величина pj не зависит от i, тогда у этой системы существуют предельные вероятности, задаваемые равенством:

(1.12) , j=1,2,…k.

Физический смысл предельных вероятностей:

1) pj  – это доля времени, которое система проводит в j-том состоянии.

2) pj  – это вероятность застать систему в j-том состоянии, если мы посмотрим на нее в случайный момент времени.

 

Теорема 2. (О существовании предельных вероятностей) Пусть дана Марковская цепь с матрицей переходов P. Если при некотором t0 все элементы матрицы строго положительны, то предельные вероятности существуют. (Без доказательства)

 

Рассмотрим пример, поясняющий, в каких случаях предельные вероятности не существуют.

Пример 4. Пусть цепь задана следующей матрицей переходов:

Представим эту систему в виде графа:

Видим, что в матрице Р есть нулевые элементы. Найдем P(2), P(3) и т. д. в надежде, что найдем матрицу без нулей и применим Теорему 2. Перемножив, получим:

Очевидно, все P(t) содержат нули. Возникает подозрение, что предельные вероятности не существуют. Для этого, чтобы убедиться в этом, рассмотрим траектории такой цепи:

состояние

1

2

1

2

1

2

...

t=

0

1

2

3

4

5

...


Состояния такой цепи меняются циклически (периодически):

p11(2t+1)=0, p11(2t)=1, поэтому не существует.

 

Рассмотрим вопрос о вычислении предельных вероятностей.

Теорема 3. Пусть дана Марковская цепь с конечным числом состояний S1, S2, … Sk, у которой существуют предельные вероятности p1, p2, ..., pk, тогда они могут быть найдены как решение системы уравнений:

(1.13)  , или, в матричном виде,

(1.14)   

 

Пример 5. Используя данные из примера 3, найдем долю рыжих женщин на этом острове через 1000 лет.

Решение: Найдем предельные вероятности для цепи с матрицей

Очевидно, предельные вероятности существуют, т.к. все элементы ненулевые. Для их вычисления используем Теорему 3. Запишем систему уравнений (1.14):

Решением этой системы будет p1 =1/3, p2 =2/3. Следовательно, через 1000 лет на этом острове будет 1/3 рыжих и 2/3 не рыжих женщин.

 

Задачи для самопроверки

1. В мастерскую для ремонта поступают моторы двух типов. Ремонт мотора типа М1 требует одного дня, типа М2 – двух дней. Каждое утро вероятность поступления на ремонт мотора типа М1 равна 1/2, и типа М2 – 1/3. Если день занят ремонтом мотора М2, то отказывают любому заказу. Составить матрицу переходов.

2. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В с вероятностью 1/2, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Найти матрицу переходов, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: Е1 – оба корабля в строю, Е2 – в стою корабль А, Е3 – в строю корабль В, Е4 – оба корабля поражены.

3. Погода на некотором острове бывает дождливой (Д) или сухой (С). Вероятности ежедневных изменений погоды заданы матрицей

а) если сегодня дождь, то какова вероятность того, что после завтра будет сухо?

б) если в среду ожидается дождливая погода с вероятностью 0,3, то какова вероятность того, что она будет дождливой в ближайшую пятницу?

 

§2 Марковские процессы

2.1 Определения

В этой главе мы будем рассматривать некоторую систему ξ(t), которая в любой момент времени t может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, ..., причём время здесь – величина непрерывная.

Аналогично дискретному случаю, будем рассматривать только однородные Марковские процессы. Напомним обозначения:

Через  обозначим вероятность того, что система за время t перейдет из состояния i в j:

(2.1)   

Для описания марковского процесса с состояниями 0, 1, 2,…, n также используют вероятности состояний , где

(2.2)  , , т.е. – вероятность того, что система, описываемая Марковским процессом в момент времени t находится в состоянии с номером k.

Через  обозначим начальное распределение вероятностей, т.е. (2.3) .

Теорема 4. Величины (2.1), (2.2), (2.3) связаны равенствами:

(2.4)      

(2.5)      

Доказательство получается по формуле полной вероятности аналогично дискретному случаю.

Определение 3. Пусть дана однородная Марковская цепь. Интенсивности переходов из i-го состояния в j-тое определим равенствами:

(2.6)

(2.7)      

(2.8)      

В дальнейшем будем рассматривать процессы, у которых интенсивности переходов существуют и конечны для любых i, j. Эквивалентная запись этого требования:  удовлетворяют следующим условиям:

(2.9)   

 

Теорема 5. (уравнения Колмогорова для вероятностей перехода) Для Марковского процесса с конечным числом состояний при выполнении условий (2.9) справедливы дифференциальные уравнения:

Следствие.

(2.10)   

Начальные данные для систем уравнений задаются равенствами  .

 

При составлении дифференциальных уравнений (2.10)  удобно пользоваться графом состояний системы, на котором состояния процесса изображены кружками. Если интенсивность перехода из состояния i в j не нулевая, то на графе из i в j ведет стрелка, над которой приведено значение .

Уравнения (2.10) по графу состояний записываются по следующему правилу: в левой части стоит производная , а в правой части стоит столько членов, сколько стрелок входит и выходит из состояния i. Если стрелка ведет в i-ое состояние из j-го, то ей соответствует слагаемое , если стрелка из i-го состояния в k-ое, то ей соответствует слагаемое .

Число уравнений системы может быть уменьшено на одно, если воспользоваться условием нормированности вероятностей:

(2.11)  для любого  t    

 

Пример 6. Граф системы приведён на рисунке 1. У системы, описываемой этим Марковским процессом, три состояния: 0, 1, 2, причем

.

       Рисунок 1


Составим для этого графа систему уравнений (2.10)

Из этой системы можно убрать последнее уравнение, а  найти из условия нормированности: .

Пример 7. Некто купил радиоприёмник с двумя запасными предохранителями. В процессе работы приёмника используется один предохранитель; перегоревший предохранитель заменяется на новый. Вероятность того, что предохранитель сгорит в промежутке времени , равна  при  час-1. Найти вероятность того, что этих предохранителей не хватит на 400 часов работы.

Решение. Введем состояния рассматриваемой системы: 0 – все предохранители исправны, 1 – один предохранитель сгорел, 2 – и 3 – сгорели два и три предохранители, соответственно. По условию задачи интенсивность перехода из состояния i в (i+1) равна 0,01 час-1 при i= 0,1,2, т.е. . Требуется найти вероятность того, что все предохранители сгорят менее, чем за 400 часов работы, т.е. надо найти . Для этого сначала нарисуем граф переходов рассматриваемой системы (рис. 2):

Рисунок 2


Затем по этому графу составим систему дифференциальных уравнений вида (2.10)

Т.к. в начальный момент (t=0) все предохранители целые, т.е. система находится в состоянии 0, то для системы уравнений получаем следующие начальные данные:

Решая первое уравнение, получаем . Подставляя это решение во второе уравнение и решая, его  получаем , затем, подставляя в третье и четвертое, находим:

Из последней формулы находим .

 

2.2 Потоки событий

Марковские процессы являются удобным аппаратом для описания так называемых потоков событий, когда с течением времени происходят некоторые случайные события, продолжительность наступления которых можно считать нулевой. Т.е. вероятность наступления события в интервале (t, Dt) равна l×D+о(D)

Это может быть последовательность вызовов, поступающих на телефонную станцию, последовательность прихода студентов в столовую и т.п.

Обозначим через x(t,s) число наступлений события в интервале (t, s). Определение 3. Поток называется стационарным, если вероятность  при всех k= 0,1,2,..., зависит только от разности s-t.

Для стационарных потоков обозначим через pn(t) – вероятность того, что за время t событие наступит ровно n раз.

Теорема 5.  Для стационарных потоков

(2.12) ,

такой поток называется простейшим, или пуассоновским с параметром l; l также называют интенсивностью потока.

 

Пусть x(t) – случайная величина, равная числу наступления события за время t. Её математическое ожидание и дисперсия даются равенствами

(2.13) , т.е. x(t)– случайная величина, подчиняющаяся распределению Пуассона с параметром lt.

 

Рассмотрим теперь время между наступлением соседних событий в простейшем потоке с параметром l. Обозначим эту случайную величину h. Для функции распределения и плотности этой величины справедливы равенствами

Другими словами, h подчиняется экспоненциальному распределению с параметром l. Заметим, что для математического ожидания и дисперсии справедливы формулы

Поток, образованный объединением двух простейших независимых потоков с параметрами l1 и l2, также является простейшим с параметром (l1+l2).

Пример 8. В микрорайоне два таксофона. Поток жителей, идущих к ним можно считать простейшим с показателями l=0,2 и l=0,3 (час–1). Первый таксофон сломался, и все жители стали ходить для разговора ко второму таксофону. Найти среднее время между двумя приходами к этому таксофону.

Решение. Интенсивность нового потока равна 0,2+0,3=0,5. Среднее время между приходами – это мат. ожидание случайной величины h, т.е. оно равно 1/l=1/0,5=2 часа.

 

2.3 Предельный режим для Марковских процессов

Рассмотрим некоторую систему x(t) с состояниями S0, S1, S2, …, Sk, ..., описываемую Марковским процессом. Неформально предельным или установившимся режимом для системы x(t) называется случайный процесс, устанавливающийся в системе при .

Если у системы есть состояния без выхода, то при  система оказывается в одном из них; если же у системы нет состояний без выхода и число состояний конечно, то для вероятности  (нахождения в состоянии i в момент t ) существует предел:

, где n – число состояний системы.

Вероятности Pi называются предельными или стационарными. Для того чтобы найти эти вероятности, в системе уравнений для вероятностей состояний (см. 2.10) переходят к пределу при . При этом левые части уравнений (производные) становятся равными нулю. Затем решают полученную систему алгебраических уравнений вместе с уравнением нормировки  

Пример 9. Поселковая телефонная станция (ТС) соединена одной телефонной линией с райцентром. Если на ТС поступает требование на разговор с райцентром, и линия свободна, то происходит соединение запрашивающего абонента с ТС райцентра. Кроме простых требований бывают срочные вызовы районных спецслужб (01, 02, 03). Если поступает срочный вызов, а линия занята обычным разговор, то этот разговор прерывается и линия отдается срочному вызову. Известно, что потоки обычных и срочных разговоров – простейшие с параметрами l1 и l2. Длительность обычных разговоров подчиняется показательному распределению с параметром m1, продолжительность срочных разговоров – показательному распределению с параметром m2. Надо найти долю времени, затрачиваемого на передачу по линии разговоров обычных и срочных.

Рисунок 3


Решение: Введем три состояния: 0,1,2 – линия связи свободна, линия занята обычным разговором и занята срочным разговором. Нарисуем граф переходов (рис. 3).

Составим систему дифференциальных уравнений для вероятностей pi(t) (см. формулы 2.10).

(*)

Т.к. у графа на рисунке 3 конечное число состояний и нет состояний без выхода, то предельные вероятности существуют. Для их отыскания из системы дифференциальных уравнений (*) получаем систему алгебраических уравнений, переходя к пределу при  и добавляя условие нормировки:

Решая эту систему уравнений, находим:

, ,

Таким образом получаем, что доля времени, когда линия занята срочным разговором, равна  ,  «простым» разговором –  .

 

Процессы размножения и гибели

Рассмотрим Марковский процесс, описывающий систему с графом состояний следующего вида:

Рисунок 4. Процесс размножения и гибели


Здесь число состояний может быть как конечным, так и счетным. Эти процессы получили название «процессов гибели и размножения». В случае конечного числа состояний стационарные или предельные вероятности существуют при любых значениях параметров mi и lj. В случае счетного числа состояний, для существования этих вероятностей необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

ряд   сходится.

Для такого процесса предельные вероятности, в случае, когда они существуют, могут быть найдены по формулам

(2.14)        

 

Пример 10.В комнате учреждения работают три сотрудника, каждый из них пользуется телефоном в среднем 1 раз в час, а средняя продолжительность одного разговора – 6 минут. Считая, что время разговора – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению, а поток звонков  простейший, определить долю времени, в течение которого занят телефон.

Решение. Задано мат. ожидание с.в. x: Мx=1×1=1. Т.к. происходит слияние трёх простейших потоков, суммарная интенсивность пользования телефоном равна l=3×1=3. Так же задано мат. ожидание с.в. h: Мh=1/m=1/0,1=10 (единицы измерения должны быть одинаковые, поэтому перевели 6 минут в часы). Граф такой системы изображён на рисунке 5, это система размножения – гибели. Найти надо .

Рисунок 5


Т.к. число состояний конечно, предельные вероятности существуют. Найдём их по формулам (2.14):

 

2.4 Системы массового обслуживания

Многие реальные процессы хорошо описываются как системы массового обслуживания, которые, по сути, являются процессами размножения и гибели.

 Рассмотрим систему, состоящую из s одинаковых обслуживающих приборов (s > 1). Известно, что поток требований на обслуживание –пуассоновский (простейший) с параметром l, а время обслуживания заявки одним прибором подчиняется экспоненциальному распределению с параметром m.

Рассмотрим сначала систему с неограниченной очередью. Режим ее работы описывается следующим образом: в том случае, когда в системе есть свободные (не занятые обслуживанием) приборы, вновь поступившее требование немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то поступающие требования образуют очередь. Как только один из приборов освобождается, требование, находящееся в голове очереди поступает к нему на обслуживание.

Граф такой системы изображён на рисунке 6.

 

Рисунок 6. Граф системы массового обслуживания с очередью


Обозначим через pn(t) вероятность того, что в момент времени t в системе находится n требований (при  n £ s все требования обслуживаются, при n > s  только n требований обслуживаются, остальные (n–s) находятся в очереди).

В том случае, когда s×m > l, у рассматриваемой системы существует предельный (стационарный режим). Формулы для  предельных вероятностей получаются при использовании (2.14):

(2.15) 

(2.16) 

(2.17) 

Величину y=l/(s×m)  часто называют суммарной загрузкой системы или полным коэффициентом системы  (m – интенсивность обслуживания одного прибора, (s×m)суммарная интенсивность обслуживания).

Другой важный случай – система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим систему с s (s ³ 0) обслуживающими приборами. Пусть, как и раньше, на вход системы поступает пуассоновский поток требований с параметром l, время обслуживания заявки одним прибором подчиняется экспоненциальному распределению с параметром m.

Режим ее работы описывается следующим образом: в том случае, когда в системе есть свободные (не занятые обслуживанием) приборы, вновь поступившее требование немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то поступающие требования получают отказ. Граф такой системы изображён на рисунке 7.

 У этой системы существует стационарный режим, и предельные вероятности определяются формулами:

(2.18)

 (2.19)

 

Рисунок 7. Граф системы массового обслуживания с отказами

 

Рассмотрим теперь случай, когда общее число требований, участвующее в процессе массового обслуживания, ограничено и равно некоторому m (в двух рассматриваемых ранее задачах это число было потенциально неограниченно, бесконечно). Пусть по прежнему s – число приборов, а m – интенсивность обслуживания одним прибором, т.е. другими словами, время обслуживания прибором одного требования подчиняется экспоненциальному распределению с параметром m. Если требование поступает в систему, когда там есть свободные приборы, то оно немедленно поступает к одному из приборов, иначе ждет своей очереди. Граф такой системы изображён на рисунке 8.

Рисунок 8. Граф системы массового обслуживания с ограниченной очередью.


Обозначим через pn(t) вероятность того, что в момент t нуждаются в обслуживании n требований. Типичный пример – s рабочих обслуживает m станков-автоматов. Здесь pn(t) – вероятность того, что в момент времени t n станков требуют внимания рабочих. Для этой системы при любых m и l, существует стационарный режим, и предельные вероятности даются формулами:

(2.20) 

(2.21) 

(2.22) 

 

Пример 11. Рассматривается работа автоматической телефонной станции (АТС), рассчитанной на одновременное обслуживание 20 абонентов. Известно, что вызов на АТС поступает, в среднем, один раз в 6 секунд. Каждый разговор длится в среднем 2 минуты. Если абонент застаёт АТС занятой, то он получает отказ. Если абонент застает свободным хотя бы один канал, то он соединяется с нужным ему номером. Определить вероятность того, что абонент, вызывая АТС, не застает ее занятой.

Решение: АТС можно рассматривать как систему массового обслуживания с отказами. Здесь s=20; l=1/6 (1/сек). Граф такой системы:

Из формулы для мат. ожидания (среднего) экспоненциального распределения получаем

.

Предельные вероятности для такой системы всегда существуют, и вероятность того, что система не будет занята (т.е. что абонент не получит отказ) можно вычислить так:

Используя таблицу для распределения Пуассона или калькулятор, можно получить Рсвоб =0,841.

 

Задачи для самопроверки

1. Для систем, заданных графами на рисунке 9, составить систему дифференциальных уравнений вида (2.10) для вероятностей  При этом считать, что в начальный момент (t=0) система находится в нулевом состоянии.

                                          а)                                                           б)

                         в)                                                      г)

Рисунок  9

 

2. В читальном зале имеются две используемые ртутные лампы и еще одна запасная. Если одна из двух ламп перегорает, то она заменяется на запасную. В случае, если в зале перегорают обе лампы (и нет запасной), зал закрывают. Какова вероятность того, что читальный зал не закроют в течение 100 часов работы, если вероятность того, что работающая лампа перегорит в интервале времени  равна  при ?

3. Известно, что приход покупателей в некоторый магазин хорошо описывается простейшим потоком. Установлено, что с вероятностью 1/2 в течение 1 минуты в магазин не заходит ни одного покупателя. Какова вероятность того, что в течение двух минут зайдет один покупатель ?

4. Поток кораблей, прибывающих в порт, можно приближенно считать простейшим. Известно, что вероятность прихода одного корабля в сутки и двух кораблей в сутки, равны. Чему равно среднее время между приходами двух кораблей?

5. Поток вызовов на станцию скорой помощи в ночное время можно считать простейшим, причем в среднем за час поступает два вызова. Какова вероятность того, что с 23.00 до 23.30 не поступит ни одного вызова?

6. На автозаправочной станции (АТС) имеется 4 колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АТС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Если колонки заняты, то прибывающие машины встают в очередь. Число мест в очереди практически не ограничено. Определить среднее время, проходящее с момента прибытия машины на заправку, до момента ее заправки и среднее число обслуживаемых на АТС машин.

7. Рабочий обслуживает два станка-автомата. Среднее время между поломками одного станка равно 4 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам. Определить среднее время простоя станков и среднее время простаивающих без ремонта станков.

 

Задачи математической статистики

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

1) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которых известен; оценка зависимости одной случайной величины от другой или нескольких случайных величин др.;

2) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Например, при медицинском обследовании измеряют основные показатели (рост, вес, давление) для того, что бы затем оценить здоровье среднего человека. В результате получены данные о весе: в1, в2….вn. Простейшая задача – оценить средний вес и определить точность этой оценки. Другая задача – найти закон распределения этой случайной величины и оценить параметры, задающие этот закон. Возможно, потребуется определить зависимость между весом и давлением и т.д.