§1 Основные понятия

Рассмотрим следующую задачу: дан большой стол, разлинованный параллельными линиями, расстояние между которыми 1см. На стол бросается игла длины L (L < 1). Рассмотрим событие A ={ игла пересекла одну из линий}. Вероятность такого события P(A) = 2L/π. Из этого можем найти π = 2L / P(A) (*).

Допустим, этот опыт проведён N раз, и пусть при этом событие А произошло k раз. Из закона больших чисел известно, что

Из (*) получаем:

При помощи такого опыта можно оценить число π. Когда этот факт был открыт 100 лет назад, некоторые ученые специально проводили подобные опыты при разной длине иглы и при разных количествах подбрасываний. Оказалось, что при 1000 подбрасываний число π вычисляется с 2-3 правильными знаками после запятой. Т.о. мы видим, что опыт со случайным исходом, повторенный многократно, позволяет оценивать значение неслучайной величины.

Рассмотрим, как в принципе можно имитировать опыт с бросанием иглы на компьютере. Пусть x – расстояние от центра иглы до линии, φ – угол наклона иглы. Эти параметры полностью задают положение иглы, и позволяют определить, пересекла ли игла одну из линий. Случайную величину x мы считаем равномерно распределённой на отрезке [0,1], а угол φ – считаем равномерно распределённым на отрезке [0,360]. Таким образом, если мы умеем генерировать случайные величины, равномерно распределенные на [0,1] и равномерно распределенные на [0,360], то мы можем моделировать подбрасывание иглы и оценить π. Чем больше число «подбрасываний», тем выше точность оценки.

Основная идея метода Монте-Карло: при помощи случайного опыта оценить характеристики нужного случайного процесса или случайной величины (а иногда и не случайной, как в примере). Поскольку метод требует проведения большого количества испытаний, его часто называют методом статических испытаний.

Особо широко стал использоваться этот метод после появления компьютеров, причем случайные эксперименты не проводились реально, а имитировались на компьютере. Область применения метода можно разбить на две части:

1) использование совместно с численным методом (Например, численное интегрирование);

2) имитационное моделирование.

Остановимся кратко на второй области. Обычно имитационное моделирование используются тогда, когда процесс очень сложен или для него не существует описания в виде дифференциальных уравнений и т. д. Пример такого процесса – расчет формы ядерных реакторов. При этих расчетах имитируется следующие случайные события:

(1) поглощение частицы ядром;

(2) количество новых частиц, на которые распадется ядро после поглощения;

(3) Направление полета новых частиц и их энергия;

(4) процесс поглощения стенками реактора и т.д.;

Никаких других способов решения этой задачи не существует. При помощи моделирования определялись оптимальная форма реактора, толщина стенки реактора, выделяемая энергия и радиация.

Мы видим, что для имитационного моделирования необходимо уметь генерировать значение случайных величин, подчиняющихся различным законам распределения.

В настоящее время установилась следующая схема генерации (моделирования) случайных величин:

1) генерируют случайную величину, подчиняющуюся равномерному распределению на интервале [0,1] (реже на интервале [–1, 1]);

2) из этой случайной величины (или нескольких таких случайных величин) вырабатывают случайную величину, подчиняющуюся нужному закону распределения.

 

§2 Генерирование значений дискретных случайных величин

Дана дискретная случайная величина ξ, заданная рядом распределения:

значение

x1

x2

x3

xn

вероятность

р1 

р2

р3

рn


Пусть h – случайная величина, подчиняющаяся равномерному распределению на отрезке [0,1]. Датчик значений такой случайной величины есть на компьютере.

Задача – получить из h значения для ξ. Для её решения разобьём интервал [0, 1] на отрезки с границами:

(1)

Для получения значений ξ поступаем следующим образом: генерируем значение η и находим номер отрезка i, в который попала η, т.е. ищем i,  для которого выполняется неравенство

(2) Qi – 1 £ η < Qi.

Затем присваиваем генерируемое значение ξ:= xi, при этом

P{ξ = xi} = P{ Qi – 1 £ η < Qi } = рi.

Пример 1. Имитировать на компьютере бросание игральной кости.

Решение: Нужно получить случайную величину, принимающую значения 1, 2,...,6 с равными вероятностями  1/6, 1/6,…, 1/6. Разбиваем отрезок [0, 1] на отрезки: .

Генерируем случайное число h. Если h попадает в первый интервал, то ξ=1 (т.е. на кости выпало 1 очко), если h попадает во второй интервал, то ξ=2

(выпало 2 очка) и т.д.

 

§3 Генерирование значений непрерывных случайных величин

Дана непрерывная случайная величина ξ, заданная функцией распределения Fξ(x). Требуется генерировать её значение, используя значение равномерно распределенной на [0,1] случайной величины η.

Общий метод заключается в следующем (см. рисунок 1):

1) генерируют значение равномерно распределенной на [0,1] случайной величины η.

2) Решают относительно x уравнение

  (3)  Fξ(x)=η

Затем считают, что случайная величина ξ принимает значение x: ξ=x.

 

Рисунок 1. Генерирование непрерывной случайной величины

 

Замечание. Если решить это уравнение в общем виде не удаётся, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример 2. Генерация случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному распределению с параметром l.

Функция распределения этой случайной величины:

Из (3) получаем:

Но, т.к. h и (1–h) распределены одинаково, то можно использовать формулу

(4) 

Описанный выше метод является  универсальным, однако для многих случайных величин существуют более простые методы, не связанные с решением уравнения. Рассмотрим некоторые из них.

 

Генерирование случайной величины равномерно распределённой на отрезке [a, b].

Дана случайная величина h, равномерно распределённая на [0,1]. Тогда

 (5) x=h×(ba)+a – будет равномерно распределённой на интервале [a,b].

 

Генерирование нормально распределённой случайной величины

Пусть xi – равномерно распределённые на [0,1] случайные величины. Известно, что при n®¥ распределение случайной величины

(6)  стремится к нормальному с параметрами a=0, s=1.

При конечном n распределение приближённо нормальное. В частности, при n=12 получается достаточно хорошее и удобное для расчётов приближение:

(7)

Случайная величина x, подчиняющаяся нормальному распределению с параметрами a и s, получается следующим образом:

(8)  

 

Генерирование значений дискретной случайной величины, принимающей n значений с равными вероятностями.

Дана случайная величина h, равномерно распределённая на [0,1]. Случайная величина x должна принимать значения 1,2,...,n с равными вероятностями.

 

Очевидно, x= éh×nù, где  éxù – округление до большего целого числа x.

 

§4 Генерирование траекторий Марковских случайных процессов.

Многие реальные технические задачи моделируются Марковскими цепями или процессами с очень большим числом состояний, так что аналитическое исследование этих систем невозможно. В этом случае используют метод Монте-Карло.

 

4.1 Марковские цепи с дискретным временем

Пусть дана цепь Маркова с состояниями S1, S2, …, Sk и матрицей переходов

Начальное распределение вероятностей задано вектором

P0= (р01, р02,…р0k).

Задача – выработать случайную последовательность переходов этой системы из одного состояния в другое Si0, Si1, …SiT (от момента времени t0 к моменту T) длины T.

Генерирование траектории сводится к генерированию значений дискретных случайных величин. Для того, чтобы найти состояние в нулевой момент времени , генерируем значение дискретной случайной величины x0:

Значения

S1

S2

Sk

Вероятности

р01

р02

р0k


Пусть в нулевой момент времени система находится в состоянии Si. Для того чтобы определить, в какое состояние система перейдет в следующий момент времени, генерируем дискретную случайную величину xi:

Значения

S1

S2

Sk

Вероятности

рi1

рi2

рik


где pij соответствуют i-ой строке матрицы.

 

Оценка предельных вероятностей для Марковских цепей

Анализ больших (длинных) траекторий позволяет оценить интересующие нас характеристики цепи, в частности, предельные вероятности.

Пусть дана Марковская цепь, для которой существуют предельные вероятности p1, p2,...,pn. Пусть s =Si1,Si2,…,Sit – случайная траектория, порождённая этой цепью. Обозначим через ni(s) частоту появлений состояния Si в последовательности s. Тогда

Т.е. для большой траектории частота попаданий в состояние Si примерно равна pi

Следовательно, для оценки предельных вероятностей генерируем длинную последовательность переходов s, задаваемую в соответствии с матрицей переходов нашей цепи. Затем подсчитываем частоту встречаемости каждого состояния S1,S2,…,Sk, и берём эти величины за оценки предельных вероятностей.

 

Пример 3. Пусть в некотором вузе студенты могут получать обычную стипендию (состояние S1), повышенную (состояние S2) и не получать стипендию (состояние  S3), и матрица переходов имеет следующий вид:

с начальным распределением (0,2; 0,8; 0). Задача – оценить средний размер стипендии за все пять лет обучения.

Возможный способ оценки этой величины – генерировать несколько десятков или сотен траекторий длины 10 (по числу семестров), подсчитывая для каждой траектории средний размер стипендии. Затем в качестве оценки взять среднее арифметическое полученных величин.

 

4.2 Марковские процессы

Пусть состояния системы S1, S2,…Sk, и интенсивность перехода из i-того состояния в j-тое, ij, а λi – интенсивность выхода из i-того состояния.

Мы рассмотрим два варианта моделирования Марковских процессов.

Первый вариант – перейти от Марковского процесса к дискретной цепи. Для этого нужно взять маленький шаг по времени Dt и составить матрицу переходов дискретной Марковской цепи с вероятностями:

Считаем, что все переходы из одного состояния в другое происходят в моменты времени, кратные Dt.

 Второй вариант – вычислить вероятность перехода из i-того состояния в j-тое по формуле:

Затем, после перехода в состояние Sj , определяется время пребывания в этом состоянии, которое подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λi.


Ответы

Цепи Маркова

1. Введём состояния: S1 – нет работы, S2 – первый день работы над мотором типа М2, S3 – второй день работы над мотором М2, S4 – работа над мотором типа М1.

2.

3.         а) р12(2)=0,39;

б) Р0=(0,3; 0,7);  

Искомая вероятность равна 0,547.

Марковские процессы

1. а)

б)

в)

г)

2.

3.

4. 0,5 суток

5.  

7. Указание. Первая величина равна , вторая . Ответ »1,2; »0,3.

6. Указание. Работа АТС может рассматриваться как работа системы массового обслуживания с неограниченной очередью. У этой системы существует стационарный режим (проверьте!). Здесь s=4, l= 4 (1/мин.), m= 1/3 (1/мин.). Ответ 2,65.

 

Точечные оценки параметров

1.

2.

3. несмещённая оценка равна исправленной дисперсии

4. Решение.
а) Найдем выборочное среднее:

б)  Найдем выборочную дисперсию:

Найдем исправленную дисперсию:

5.

6

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Доверительные интервалы

1. Решение. Требуется найти  доверительный интервал

.

Все величины, кроме  , известны. Найдем квантиль из по таблице = 1,96. Подставив в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 <a < 15,96.

2. а) 7,63<a < 12,77; б) 14,23<a<19,37.

 

3. 1964,94<a<2035,06.

4.

5. Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней:  . Отсюда 

Подставив квантиль = 2,24, σ=1,2 и δ=0,3 в формулу, получим искомый объем выборки  n= 81.

6. n=179.

7. Решение. Выборочное среднее и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:

.

Подставив в эти формулы данные задачи, получим , =2,4.

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Подставляя  ,, s=2,4, n=10, получим искомый доверительный интервал 0,92 < a <3,81,  покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.

8.  доверительный интервал 0,0422<a<0,978.

9. Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

, a=0,05.

По таблице находим квантили  Подставив в формулу, получим доверительный интервал

 0,74 < σ  <1,55.

10. Решение. По условию, n=60, k=15, γ=0,95. Найдем относительную частоту появления события А: .

Найдем границы искомого доверительного интервала:

Найдем по таблице нормального распределения квантиль

Подставив в формулу n=60, , получим искомый доверительный интервал 0,14 < p< 0,36.

11. 0,44<p<0<76.

12. Решение. Найдем относительную частоту появления выигрыша: . Найдем квантиль.

Подставив в формулу доверительного интервала, получим границы:

р1= –0,006, р2=0,031. Итак, искомый доверительный интервал 0<p< 0,031.

 

Проверка гипотез

1. Решение.  Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

Найдем квантиль

Так как 3<1,96 –не выполняется, нулевую гипотезу отвергаем.

2. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия

.

По таблице распределения Стьюдента находим критическую точку

. Так как 1,94<2,131 нулевую гипотезу принимаем.

3.Решение. Найдем границы критической области:

;   

Т.к. 8,505 < 15 < 45,787 нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению  принимаем.

4. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия

.

Так как 1,5 < 1,96 нет  оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14 незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20.

5. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Так как 5 > 2,576, то нулевую гипотезу отвергаем.

6. Решение:

1).Оценим неизвестные параметры а и s. Для этого найдем выборочное среднее =12,63 и выборочное СКО S =4,695.

2) Количество классов r=10: (–¥,5], (5,7], (7,9], (9,11], (11,13], (13,15], (15,17], (17,19],(19,21] , (21, ¥).

3) Вычислим теоретические частоты по формуле

.

4) Укрупнения частот не требуется. Результаты занесём в таблицу.

 

Номер

xi-1

xi

ni

pi

n× pi

(ni-n*pi)2/(n*pi)

1

-10000

5

15

0,0521

10,413

2,020

2

5

7

26

0,0632

12,634

14,142

3

7

9

25

0,1045

20,896

0,806

4

9

11

30

0,1445

28,903

0,042

5

11

13

26

0,1672

33,436

1,654

6

13

15

21

0,1617

32,348

3,981

7

15

17

24

0,1309

26,174

0,181

8

17

19

20

0,0886

17,711

0,296

9

19

21

13

0,0501

10,023

0,884

10

21

10000

0

0,0373

7,463

7,463

сумма

 

 

 

1,0000

200,0000

31,4676


5) Эмпирические частоты заданы.

6) Из таблицы находим .

7) По таблице  распределения  смотрим квантиль

χ210 –2 – 1; 1 –0,05 = χ27; 0,975=16.

Так как 31,4676 > 16 гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.

 

Таблица значений функции (стандартное нормальное распределение)

 

x

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,00

0,500

0,504

0,508

0,512

0,516

0,520

0,524

0,528

0,532

0,536

0,10

0,540

0,544

0,548

0,552

0,556

0,560

0,564

0,567

0,571

0,575

0,20

0,579

0,583

0,587

0,591

0,595

0,599

0,603

0,606

0,610

0,614

0,30

0,618

0,622

0,626

0,629

0,633

0,637

0,641

0,644

0,648

0,652

0,40

0,655

0,659

0,663

0,666

0,670

0,674

0,677

0,681

0,684

0,688

0,50

0,691

0,695

0,698

0,702

0,705

0,709

0,712

0,716

0,719

0,722

0,60

0,726

0,729

0,732

0,736

0,739

0,742

0,745

0,749

0,752

0,755

0,70

0,758

0,761

0,764

0,767

0,770

0,773

0,776

0,779

0,782

0,785

0,80

0,788

0,791

0,794

0,797

0,800

0,802

0,805

0,808

0,811

0,813

0,90

0,816

0,819

0,821

0,824

0,826

0,829

0,831

0,834

0,836

0,839

1,00

0,841

0,844

0,846

0,848

0,851

0,853

0,855

0,858

0,860

0,862

1,10

0,864

0,867

0,869

0,871

0,873

0,875

0,877

0,879

0,881

0,883

1,20

0,885

0,887

0,889

0,891

0,893

0,894

0,896

0,898

0,900

0,901

1,30

0,903

0,905

0,907

0,908

0,910

0,911

0,913

0,915

0,916

0,918

1,40

0,919

0,921

0,922

0,924

0,925

0,926

0,928

0,929

0,931

0,932

1,50

0,933

0,934

0,936

0,937

0,938

0,939

0,941

0,942

0,943

0,944

1,60

0,945

0,946

0,947

0,948

0,949

0,951

0,952

0,953

0,954

0,954

1,70

0,955

0,956

0,957

0,958

0,959

0,960

0,961

0,962

0,962

0,963

1,80

0,964

0,965

0,966

0,966

0,967

0,968

0,969

0,969

0,970

0,971

1,90

0,971

0,972

0,973

0,973

0,974

0,974

0,975

0,976

0,976

0,977

2,00

0,977

0,978

0,978

0,979

0,979

0,980

0,980

0,981

0,981

0,982

2,10

0,982

0,983

0,983

0,983

0,984

0,984

0,985

0,985

0,985

0,986

2,20

0,986

0,986

0,987

0,987

0,987

0,988

0,988

0,988

0,989

0,989

2,30

0,989

0,990

0,990

0,990

0,990

0,991

0,991

0,991

0,991

0,992

2,40

0,992

0,992

0,992

0,992

0,993

0,993

0,993

0,993

0,993

0,994

2,50

0,994

0,994

0,994

0,994

0,994

0,995

0,995

0,995

0,995

0,995

2,60

0,995

0,995

0,996

0,996

0,996

0,996

0,996

0,996

0,996

0,996

2,70

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

0,997

2,80

0,997

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

2,90

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,998

0,999

0,999

0,999

3,00

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

3,10

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

3,20

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

0,999

3,30

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

3,40

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000


 

Квантили нормального стандартного распределения

 

р

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

0,9995

Up

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,090

3,291

 


Квантили распределения Стьюдента tp(k)

 

число степеней свободы k

р

0,75

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

1

1,000

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

318,309

2

0,816

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

22,327

3

0,765

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

10,215

4

0,741

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

7,173

5

0,727

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

5,893

6

0,718

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,208

7

0,711

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

4,785

8

0,706

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

4,501

9

0,703

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,297

10

0,700

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,144

11

0,697

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

4,025

12

0,695

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

3,930

13

0,694

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

3,852

14

0,692

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

3,787

15

0,691

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

3,733

16

0,690

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

3,686

17

0,689

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,646

18

0,688

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,610

19

0,688

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,579

20

0,687

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,552

21

0,686

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,527

22

0,686

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,505

23

0,685

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,485

24

0,685

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,467

25

0,684

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,450

26

0,684

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,435

27

0,684

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,421

28

0,683

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,408

29

0,683

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,396

30

0,683

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,385

40

0,681

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,307

50

0,679

1,299

1,676

2,009

2,403

2,678

3,261

60

0,679

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,232

120

0,677

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

3,160

 

 

Квантили распределения

       р            k

0,005

0,01

0,025

0,05

0,1

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

1

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

2,71

3,84

5,02

6,63

7,88

10,83

2

0,01

0,02

0,05

0,10

0,21

4,61

5,99

7,38

9,21

10,60

13,82

3

0,07

0,11

0,22

0,35

0,58

6,25

7,81

9,35

11,34

12,84

16,27

4

0,21

0,30

0,48

0,71

1,06

7,78

9,49

11,14

13,28

14,86

18,47

5

0,41

0,55

0,83

1,15

1,61

9,24

11,07

12,83

15,09

16,75

20,52

6

0,68

0,87

1,24

1,64

2,20

10,64

12,59

14,45

16,81

18,55

22,46

7

0,99

1,24

1,69

2,17

2,83

12,02

14,07

16,01

18,48

20,28

24,32

8

1,34

1,65

2,18

2,73

3,49

13,36

15,51

17,53

20,09

21,95

26,12

9

1,73

2,09

2,70

3,33

4,17

14,68

16,92

19,02

21,67

23,59

27,88

10

2,16

2,56

3,25

3,94

4,87

15,99

18,31

20,48

23,21

25,19

29,59

11

2,60

3,05

3,82

4,57

5,58

17,28

19,68

21,92

24,72

26,76

31,26

12

3,07

3,57

4,40

5,23

6,30

18,55

21,03

23,34

26,22

28,30

32,91

13

3,57

4,11

5,01

5,89

7,04

19,81

22,36

24,74

27,69

29,82

34,53

14

4,07

4,66

5,63

6,57

7,79

21,06

23,68

26,12

29,14

31,32

36,12

15

4,60

5,23

6,26

7,26

8,55

22,31

25,00

27,49

30,58

32,80

37,70

16

5,14

5,81

6,91

7,96

9,31

23,54

26,30

28,85

32,00

34,27

39,25

17

5,70

6,41

7,56

8,67

10,09

24,77

27,59

30,19

33,41

35,72

40,79

18

6,26

7,01

8,23

9,39

10,86

25,99

28,87

31,53

34,81

37,16

42,31

19

6,84

7,63

8,91

10,12

11,65

27,20

30,14

32,85

36,19

38,58

43,82

20

7,43

8,26

9,59

10,85

12,44

28,41

31,41

34,17

37,57

40,00

45,31

21

8,03

8,90

10,28

11,59

13,24

29,62

32,67

35,48

38,93

41,40

46,80

22

8,64

9,54

10,98

12,34

14,04

30,81

33,92

36,78

40,29

42,80

48,27

23

9,26

10,20

11,69

13,09

14,85

32,01

35,17

38,08

41,64

44,18

49,73

24

9,89

10,86

12,40

13,85

15,66

33,20

36,42

39,36

42,98

45,56

51,18

25

10,52

11,52

13,12

14,61

16,47

34,38

37,65

40,65

44,31

46,93

52,62

26

11,16

12,20

13,84

15,38

17,29

35,56

38,89

41,92

45,64

48,29

54,05

27

11,81

12,88

14,57

16,15

18,11

36,74

40,11

43,19

46,96

49,64

55,48

28

12,46

13,56

15,31

16,93

18,94

37,92

41,34

44,46

48,28

50,99

56,89

29

13,12

14,26

16,05

17,71

19,77

39,09

42,56

45,72

49,59

52,34

58,30

30

13,79

14,95

16,79

18,49

20,60

40,26

43,77

46,98

50,89

53,67

59,70

35

17,19

18,51

20,57

22,47

24,80

46,06

49,80

53,20

57,34

60,27

66,62

40

20,71

22,16

24,43

26,51

29,05

51,81

55,76

59,34

63,69

66,77

73,40

45

24,31

25,90

28,37

30,61

33,35

57,51

61,66

65,41

69,96

73,17

80,08

50

27,99

29,71

32,36

34,76

37,69

63,17

67,50

71,42

76,15

79,49

86,66

75

47,21

49,48

52,94

56,05

59,79

91,06

96,22

100,84

106,39

110,29

118,60

100

67,33

70,06

74,22

77,93

82,36

118,50

124,34

129,56

135,81

140,17

149,45