Рассмотрим следующую задачу: дан большой стол, разлинованный параллельными линиями, расстояние между которыми 1см. На стол бросается игла длины L (L < 1). Рассмотрим событие A ={ игла пересекла одну из линий}. Вероятность такого события P(A) = 2L/π. Из этого можем найти π = 2L / P(A) (*).
Допустим, этот опыт проведён N раз, и пусть при этом событие А произошло k раз. Из закона больших чисел известно, что
Из (*) получаем:
При помощи такого опыта можно оценить число π. Когда этот факт был открыт 100 лет назад, некоторые ученые специально проводили подобные опыты при разной длине иглы и при разных количествах подбрасываний. Оказалось, что при 1000 подбрасываний число π вычисляется с 2-3 правильными знаками после запятой. Т.о. мы видим, что опыт со случайным исходом, повторенный многократно, позволяет оценивать значение неслучайной величины.
Рассмотрим, как в принципе можно имитировать опыт с бросанием иглы на компьютере. Пусть x – расстояние от центра иглы до линии, φ – угол наклона иглы. Эти параметры полностью задают положение иглы, и позволяют определить, пересекла ли игла одну из линий. Случайную величину x мы считаем равномерно распределённой на отрезке [0,1], а угол φ – считаем равномерно распределённым на отрезке [0,360]. Таким образом, если мы умеем генерировать случайные величины, равномерно распределенные на [0,1] и равномерно распределенные на [0,360], то мы можем моделировать подбрасывание иглы и оценить π. Чем больше число «подбрасываний», тем выше точность оценки.
Основная идея метода Монте-Карло: при помощи случайного опыта оценить характеристики нужного случайного процесса или случайной величины (а иногда и не случайной, как в примере). Поскольку метод требует проведения большого количества испытаний, его часто называют методом статических испытаний.
Особо широко стал использоваться этот метод после появления компьютеров, причем случайные эксперименты не проводились реально, а имитировались на компьютере. Область применения метода можно разбить на две части:
1) использование совместно с численным методом (Например, численное интегрирование);
2) имитационное моделирование.
Остановимся кратко на второй области. Обычно имитационное моделирование используются тогда, когда процесс очень сложен или для него не существует описания в виде дифференциальных уравнений и т. д. Пример такого процесса – расчет формы ядерных реакторов. При этих расчетах имитируется следующие случайные события:
(1) поглощение частицы ядром;
(2) количество новых частиц, на которые распадется ядро после поглощения;
(3) Направление полета новых частиц и их энергия;
(4) процесс поглощения стенками реактора и т.д.;
Никаких других способов решения этой задачи не существует. При помощи моделирования определялись оптимальная форма реактора, толщина стенки реактора, выделяемая энергия и радиация.
Мы видим, что для имитационного моделирования необходимо уметь генерировать значение случайных величин, подчиняющихся различным законам распределения.
В настоящее время установилась следующая схема генерации (моделирования) случайных величин:
1) генерируют случайную величину, подчиняющуюся равномерному распределению на интервале [0,1] (реже на интервале [–1, 1]);
2) из этой случайной величины (или нескольких таких случайных величин) вырабатывают случайную величину, подчиняющуюся нужному закону распределения.
Дана дискретная случайная величина ξ, заданная рядом распределения:
значение |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
вероятность |
р1 |
р2 |
р3 |
… |
рn |
Пусть h – случайная величина, подчиняющаяся равномерному распределению на отрезке [0,1]. Датчик значений такой случайной величины есть на компьютере.
Задача – получить из h значения для ξ. Для её решения разобьём интервал [0, 1] на отрезки с границами:
(1)
Для получения значений ξ поступаем следующим образом: генерируем значение η и находим номер отрезка i, в который попала η, т.е. ищем i, для которого выполняется неравенство
(2) Qi – 1 £ η < Qi.
Затем присваиваем генерируемое значение ξ:= xi, при этом
P{ξ = xi} = P{ Qi – 1 £ η < Qi } = рi.
Пример 1. Имитировать на компьютере бросание игральной кости.
Решение: Нужно получить случайную величину, принимающую
значения 1, 2,...,6 с равными вероятностями 1/6, 1/6,…, 1/6. Разбиваем
отрезок [0, 1] на отрезки: .
Генерируем случайное число h. Если h попадает в первый интервал, то ξ=1 (т.е. на кости выпало 1 очко), если h попадает во второй интервал, то ξ=2
(выпало 2 очка) и т.д.
Дана непрерывная случайная величина ξ, заданная функцией распределения Fξ(x). Требуется генерировать её значение, используя значение равномерно распределенной на [0,1] случайной величины η.
Общий метод заключается в следующем (см. рисунок 1):
1) генерируют значение равномерно распределенной на [0,1] случайной величины η.
2) Решают относительно x уравнение
(3) Fξ(x)=η
Затем считают, что случайная величина ξ принимает значение x: ξ=x.
Рисунок 1. Генерирование непрерывной случайной величины
Замечание. Если решить это уравнение в общем виде не удаётся, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример 2. Генерация случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному распределению с параметром l.
Функция распределения этой случайной величины:
Из (3) получаем:
Но, т.к. h и (1–h) распределены одинаково, то можно использовать формулу
(4)
Описанный выше метод является универсальным, однако для многих случайных величин существуют более простые методы, не связанные с решением уравнения. Рассмотрим некоторые из них.
Генерирование случайной величины равномерно распределённой на отрезке [a, b].
Дана случайная величина h, равномерно распределённая на [0,1]. Тогда
(5) x=h×(b–a)+a – будет равномерно распределённой на интервале [a,b].
Генерирование нормально распределённой случайной величины
Пусть xi – равномерно распределённые на [0,1] случайные величины. Известно, что при n®¥ распределение случайной величины
(6) стремится к нормальному с параметрами a=0, s=1.
При конечном n распределение приближённо нормальное. В частности, при n=12 получается достаточно хорошее и удобное для расчётов приближение:
(7)
Случайная величина x, подчиняющаяся нормальному распределению с параметрами a и s, получается следующим образом:
(8)
Генерирование значений дискретной случайной величины, принимающей n значений с равными вероятностями.
Дана случайная величина h, равномерно распределённая на [0,1]. Случайная величина x должна принимать значения 1,2,...,n с равными вероятностями.
Очевидно, x= éh×nù, где éxù – округление до большего целого числа x.
Многие реальные технические задачи моделируются Марковскими цепями или процессами с очень большим числом состояний, так что аналитическое исследование этих систем невозможно. В этом случае используют метод Монте-Карло.
4.1 Марковские цепи с дискретным временем
Пусть дана цепь Маркова с состояниями S1, S2, …, Sk и матрицей переходов
Начальное распределение вероятностей задано вектором
P0= (р01, р02,…р0k).
Задача – выработать случайную последовательность переходов этой системы из одного состояния в другое Si0, Si1, …SiT (от момента времени t0 к моменту T) длины T.
Генерирование траектории сводится к генерированию значений дискретных случайных величин. Для того, чтобы найти состояние в нулевой момент времени , генерируем значение дискретной случайной величины x0:
Значения |
S1 |
S2 |
… |
Sk |
Вероятности |
р01 |
р02 |
… |
р0k |
Пусть в нулевой момент времени система находится в состоянии Si. Для того чтобы определить, в какое состояние система перейдет в следующий момент времени, генерируем дискретную случайную величину xi:
Значения |
S1 |
S2 |
… |
Sk |
Вероятности |
рi1 |
рi2 |
… |
рik |
где pij соответствуют i-ой строке матрицы.
Оценка предельных вероятностей для Марковских цепей
Анализ больших (длинных) траекторий позволяет оценить интересующие нас характеристики цепи, в частности, предельные вероятности.
Пусть дана Марковская цепь, для которой существуют предельные вероятности p1, p2,...,pn. Пусть s =Si1,Si2,…,Sit – случайная траектория, порождённая этой цепью. Обозначим через ni(s) частоту появлений состояния Si в последовательности s. Тогда
Т.е. для большой траектории частота попаданий в состояние Si примерно равна pi.
Следовательно, для оценки предельных вероятностей генерируем длинную последовательность переходов s, задаваемую в соответствии с матрицей переходов нашей цепи. Затем подсчитываем частоту встречаемости каждого состояния S1,S2,…,Sk, и берём эти величины за оценки предельных вероятностей.
Пример 3. Пусть в некотором вузе студенты могут получать обычную стипендию (состояние S1), повышенную (состояние S2) и не получать стипендию (состояние S3), и матрица переходов имеет следующий вид:
с начальным распределением (0,2; 0,8; 0). Задача – оценить средний размер стипендии за все пять лет обучения.
Возможный способ оценки этой величины – генерировать несколько десятков или сотен траекторий длины 10 (по числу семестров), подсчитывая для каждой траектории средний размер стипендии. Затем в качестве оценки взять среднее арифметическое полученных величин.
4.2 Марковские процессы
Пусть состояния системы S1, S2,…Sk, и– интенсивность
перехода из i-того состояния в j-тое, i ≠ j, а λi – интенсивность выхода из i-того состояния.
Мы рассмотрим два варианта моделирования Марковских процессов.
Первый вариант – перейти от Марковского процесса к дискретной цепи. Для этого нужно взять маленький шаг по времени Dt и составить матрицу переходов дискретной Марковской цепи с вероятностями:
Считаем, что все переходы из одного состояния в другое происходят в моменты времени, кратные Dt.
Второй вариант – вычислить вероятность перехода из i-того состояния в j-тое по формуле:
Затем, после перехода в состояние Sj , определяется время пребывания в этом состоянии, которое подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λi.
Цепи Маркова
1. Введём состояния: S1 – нет работы, S2 – первый день работы над мотором типа М2, S3 – второй день работы над мотором М2, S4 – работа над мотором типа М1.
2.
3. а) р12(2)=0,39;
б) Р0=(0,3; 0,7);
Искомая вероятность равна 0,547.
Марковские процессы
1. а)
б)
в)
г)
2.
3.
4. 0,5 суток
5.
7. Указание. Первая величина
равна , вторая
. Ответ »1,2; »0,3.
6. Указание. Работа АТС может рассматриваться как работа системы массового обслуживания с неограниченной очередью. У этой системы существует стационарный режим (проверьте!). Здесь s=4, l= 4 (1/мин.), m= 1/3 (1/мин.). Ответ 2,65.
Точечные оценки параметров
1.
2.
3. несмещённая оценка равна исправленной дисперсии
4. Решение.
а) Найдем выборочное среднее:
б) Найдем выборочную дисперсию:
Найдем исправленную дисперсию:
5.
6
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Доверительные интервалы
1. Решение. Требуется найти доверительный интервал
.
Все
величины, кроме ,
известны. Найдем квантиль из по таблице
= 1,96. Подставив в формулу, окончательно получим
искомый доверительный интервал 12,04 <a <
15,96.
2. а) 7,63<a < 12,77; б) 14,23<a<19,37.
3. 1964,94<a<2035,06.
4.
5. Решение.
Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания
генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда
Подставив квантиль = 2,24, σ=1,2 и δ=0,3 в формулу, получим искомый объем выборки n= 81.
6. n=179.
7. Решение. Выборочное среднее и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:
.
Подставив
в эти формулы данные задачи, получим ,
=2,4.
Найдем искомый доверительный интервал:
.
Подставляя ,
, s=2,4, n=10, получим искомый доверительный интервал 0,92 < a <3,81, покрывающий
неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.
8. доверительный
интервал 0,0422<a<0,978.
9. Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала
, a=0,05.
По таблице находим квантили Подставив
в формулу, получим доверительный интервал
0,74 < σ <1,55.
10. Решение.
По условию, n=60, k=15, γ=0,95. Найдем относительную частоту появления
события А: .
Найдем границы искомого доверительного интервала:
Найдем
по таблице нормального распределения квантиль
Подставив
в формулу n=60, , получим искомый доверительный интервал 0,14
< p< 0,36.
11. 0,44<p<0<76.
12. Решение.
Найдем относительную частоту появления выигрыша: . Найдем квантиль
.
Подставив в формулу доверительного интервала, получим границы:
р1= –0,006, р2=0,031. Итак, искомый доверительный интервал 0<p< 0,031.
Проверка гипотез
1. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:
.
Найдем
квантиль
Так как 3<1,96 –не выполняется, нулевую гипотезу отвергаем.
2. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия
.
По таблице распределения Стьюдента находим критическую точку
. Так как 1,94<2,131 нулевую
гипотезу принимаем.
3.Решение. Найдем границы критической области:
;
Т.к.
8,505 < 15 < 45,787 нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии
гипотетическому значению принимаем.
4. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия
.
Так как 1,5 < 1,96 нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14 незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20.
5. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:
Так как 5 > 2,576, то нулевую гипотезу отвергаем.
6. Решение:
1).Оценим
неизвестные параметры а и s. Для этого найдем выборочное среднее =12,63
и выборочное СКО S =4,695.
2) Количество классов r=10: (–¥,5], (5,7], (7,9], (9,11], (11,13], (13,15], (15,17], (17,19],(19,21] , (21, ¥).
3) Вычислим теоретические частоты по формуле
.
4) Укрупнения частот не требуется. Результаты занесём в таблицу.
Номер |
xi-1 |
xi |
ni |
pi |
n× pi |
(ni-n*pi)2/(n*pi) |
|
1 |
-10000 |
5 |
15 |
0,0521 |
10,413 |
2,020 |
|
2 |
5 |
7 |
26 |
0,0632 |
12,634 |
14,142 |
|
3 |
7 |
9 |
25 |
0,1045 |
20,896 |
0,806 |
|
4 |
9 |
11 |
30 |
0,1445 |
28,903 |
0,042 |
|
5 |
11 |
13 |
26 |
0,1672 |
33,436 |
1,654 |
|
6 |
13 |
15 |
21 |
0,1617 |
32,348 |
3,981 |
|
7 |
15 |
17 |
24 |
0,1309 |
26,174 |
0,181 |
|
8 |
17 |
19 |
20 |
0,0886 |
17,711 |
0,296 |
|
9 |
19 |
21 |
13 |
0,0501 |
10,023 |
0,884 |
|
10 |
21 |
10000 |
0 |
0,0373 |
7,463 |
7,463 |
|
сумма |
|
|
|
1,0000 |
200,0000 |
31,4676 |
5) Эмпирические частоты заданы.
6)
Из таблицы находим .
7)
По таблице распределения смотрим квантиль
χ210 –2 – 1; 1 –0,05 = χ27; 0,975=16.
Так как 31,4676 > 16 гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.
x |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,00 |
0,500 |
0,504 |
0,508 |
0,512 |
0,516 |
0,520 |
0,524 |
0,528 |
0,532 |
0,536 |
0,10 |
0,540 |
0,544 |
0,548 |
0,552 |
0,556 |
0,560 |
0,564 |
0,567 |
0,571 |
0,575 |
0,20 |
0,579 |
0,583 |
0,587 |
0,591 |
0,595 |
0,599 |
0,603 |
0,606 |
0,610 |
0,614 |
0,30 |
0,618 |
0,622 |
0,626 |
0,629 |
0,633 |
0,637 |
0,641 |
0,644 |
0,648 |
0,652 |
0,40 |
0,655 |
0,659 |
0,663 |
0,666 |
0,670 |
0,674 |
0,677 |
0,681 |
0,684 |
0,688 |
0,50 |
0,691 |
0,695 |
0,698 |
0,702 |
0,705 |
0,709 |
0,712 |
0,716 |
0,719 |
0,722 |
0,60 |
0,726 |
0,729 |
0,732 |
0,736 |
0,739 |
0,742 |
0,745 |
0,749 |
0,752 |
0,755 |
0,70 |
0,758 |
0,761 |
0,764 |
0,767 |
0,770 |
0,773 |
0,776 |
0,779 |
0,782 |
0,785 |
0,80 |
0,788 |
0,791 |
0,794 |
0,797 |
0,800 |
0,802 |
0,805 |
0,808 |
0,811 |
0,813 |
0,90 |
0,816 |
0,819 |
0,821 |
0,824 |
0,826 |
0,829 |
0,831 |
0,834 |
0,836 |
0,839 |
1,00 |
0,841 |
0,844 |
0,846 |
0,848 |
0,851 |
0,853 |
0,855 |
0,858 |
0,860 |
0,862 |
1,10 |
0,864 |
0,867 |
0,869 |
0,871 |
0,873 |
0,875 |
0,877 |
0,879 |
0,881 |
0,883 |
1,20 |
0,885 |
0,887 |
0,889 |
0,891 |
0,893 |
0,894 |
0,896 |
0,898 |
0,900 |
0,901 |
1,30 |
0,903 |
0,905 |
0,907 |
0,908 |
0,910 |
0,911 |
0,913 |
0,915 |
0,916 |
0,918 |
1,40 |
0,919 |
0,921 |
0,922 |
0,924 |
0,925 |
0,926 |
0,928 |
0,929 |
0,931 |
0,932 |
1,50 |
0,933 |
0,934 |
0,936 |
0,937 |
0,938 |
0,939 |
0,941 |
0,942 |
0,943 |
0,944 |
1,60 |
0,945 |
0,946 |
0,947 |
0,948 |
0,949 |
0,951 |
0,952 |
0,953 |
0,954 |
0,954 |
1,70 |
0,955 |
0,956 |
0,957 |
0,958 |
0,959 |
0,960 |
0,961 |
0,962 |
0,962 |
0,963 |
1,80 |
0,964 |
0,965 |
0,966 |
0,966 |
0,967 |
0,968 |
0,969 |
0,969 |
0,970 |
0,971 |
1,90 |
0,971 |
0,972 |
0,973 |
0,973 |
0,974 |
0,974 |
0,975 |
0,976 |
0,976 |
0,977 |
2,00 |
0,977 |
0,978 |
0,978 |
0,979 |
0,979 |
0,980 |
0,980 |
0,981 |
0,981 |
0,982 |
2,10 |
0,982 |
0,983 |
0,983 |
0,983 |
0,984 |
0,984 |
0,985 |
0,985 |
0,985 |
0,986 |
2,20 |
0,986 |
0,986 |
0,987 |
0,987 |
0,987 |
0,988 |
0,988 |
0,988 |
0,989 |
0,989 |
2,30 |
0,989 |
0,990 |
0,990 |
0,990 |
0,990 |
0,991 |
0,991 |
0,991 |
0,991 |
0,992 |
2,40 |
0,992 |
0,992 |
0,992 |
0,992 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,994 |
2,50 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
2,60 |
0,995 |
0,995 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
2,70 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
2,80 |
0,997 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
2,90 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
3,00 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
3,10 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
3,20 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
3,30 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
3,40 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
р |
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
0,9995 |
Up |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,090 |
3,291 |
число степеней свободы k |
р |
||||||
0,75 |
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
1 |
1,000 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
31,821 |
63,657 |
318,309 |
2 |
0,816 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,925 |
22,327 |
3 |
0,765 |
1,638 |
2,353 |
3,182 |
4,541 |
5,841 |
10,215 |
4 |
0,741 |
1,533 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
7,173 |
5 |
0,727 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
5,893 |
6 |
0,718 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,208 |
7 |
0,711 |
1,415 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
4,785 |
8 |
0,706 |
1,397 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
4,501 |
9 |
0,703 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,297 |
10 |
0,700 |
1,372 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,144 |
11 |
0,697 |
1,363 |
1,796 |
2,201 |
2,718 |
3,106 |
4,025 |
12 |
0,695 |
1,356 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
3,930 |
13 |
0,694 |
1,350 |
1,771 |
2,160 |
2,650 |
3,012 |
3,852 |
14 |
0,692 |
1,345 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
3,787 |
15 |
0,691 |
1,341 |
1,753 |
2,131 |
2,602 |
2,947 |
3,733 |
16 |
0,690 |
1,337 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
3,686 |
17 |
0,689 |
1,333 |
1,740 |
2,110 |
2,567 |
2,898 |
3,646 |
18 |
0,688 |
1,330 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,610 |
19 |
0,688 |
1,328 |
1,729 |
2,093 |
2,539 |
2,861 |
3,579 |
20 |
0,687 |
1,325 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,552 |
21 |
0,686 |
1,323 |
1,721 |
2,080 |
2,518 |
2,831 |
3,527 |
22 |
0,686 |
1,321 |
1,717 |
2,074 |
2,508 |
2,819 |
3,505 |
23 |
0,685 |
1,319 |
1,714 |
2,069 |
2,500 |
2,807 |
3,485 |
24 |
0,685 |
1,318 |
1,711 |
2,064 |
2,492 |
2,797 |
3,467 |
25 |
0,684 |
1,316 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,450 |
26 |
0,684 |
1,315 |
1,706 |
2,056 |
2,479 |
2,779 |
3,435 |
27 |
0,684 |
1,314 |
1,703 |
2,052 |
2,473 |
2,771 |
3,421 |
28 |
0,683 |
1,313 |
1,701 |
2,048 |
2,467 |
2,763 |
3,408 |
29 |
0,683 |
1,311 |
1,699 |
2,045 |
2,462 |
2,756 |
3,396 |
30 |
0,683 |
1,310 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,385 |
40 |
0,681 |
1,303 |
1,684 |
2,021 |
2,423 |
2,704 |
3,307 |
50 |
0,679 |
1,299 |
1,676 |
2,009 |
2,403 |
2,678 |
3,261 |
60 |
0,679 |
1,296 |
1,671 |
2,000 |
2,390 |
2,660 |
3,232 |
120 |
0,677 |
1,289 |
1,658 |
1,980 |
2,358 |
2,617 |
3,160 |
р k |
0,005 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,1 |
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
1 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
2,71 |
3,84 |
5,02 |
6,63 |
7,88 |
10,83 |
2 |
0,01 |
0,02 |
0,05 |
0,10 |
0,21 |
4,61 |
5,99 |
7,38 |
9,21 |
10,60 |
13,82 |
3 |
0,07 |
0,11 |
0,22 |
0,35 |
0,58 |
6,25 |
7,81 |
9,35 |
11,34 |
12,84 |
16,27 |
4 |
0,21 |
0,30 |
0,48 |
0,71 |
1,06 |
7,78 |
9,49 |
11,14 |
13,28 |
14,86 |
18,47 |
5 |
0,41 |
0,55 |
0,83 |
1,15 |
1,61 |
9,24 |
11,07 |
12,83 |
15,09 |
16,75 |
20,52 |
6 |
0,68 |
0,87 |
1,24 |
1,64 |
2,20 |
10,64 |
12,59 |
14,45 |
16,81 |
18,55 |
22,46 |
7 |
0,99 |
1,24 |
1,69 |
2,17 |
2,83 |
12,02 |
14,07 |
16,01 |
18,48 |
20,28 |
24,32 |
8 |
1,34 |
1,65 |
2,18 |
2,73 |
3,49 |
13,36 |
15,51 |
17,53 |
20,09 |
21,95 |
26,12 |
9 |
1,73 |
2,09 |
2,70 |
3,33 |
4,17 |
14,68 |
16,92 |
19,02 |
21,67 |
23,59 |
27,88 |
10 |
2,16 |
2,56 |
3,25 |
3,94 |
4,87 |
15,99 |
18,31 |
20,48 |
23,21 |
25,19 |
29,59 |
11 |
2,60 |
3,05 |
3,82 |
4,57 |
5,58 |
17,28 |
19,68 |
21,92 |
24,72 |
26,76 |
31,26 |
12 |
3,07 |
3,57 |
4,40 |
5,23 |
6,30 |
18,55 |
21,03 |
23,34 |
26,22 |
28,30 |
32,91 |
13 |
3,57 |
4,11 |
5,01 |
5,89 |
7,04 |
19,81 |
22,36 |
24,74 |
27,69 |
29,82 |
34,53 |
14 |
4,07 |
4,66 |
5,63 |
6,57 |
7,79 |
21,06 |
23,68 |
26,12 |
29,14 |
31,32 |
36,12 |
15 |
4,60 |
5,23 |
6,26 |
7,26 |
8,55 |
22,31 |
25,00 |
27,49 |
30,58 |
32,80 |
37,70 |
16 |
5,14 |
5,81 |
6,91 |
7,96 |
9,31 |
23,54 |
26,30 |
28,85 |
32,00 |
34,27 |
39,25 |
17 |
5,70 |
6,41 |
7,56 |
8,67 |
10,09 |
24,77 |
27,59 |
30,19 |
33,41 |
35,72 |
40,79 |
18 |
6,26 |
7,01 |
8,23 |
9,39 |
10,86 |
25,99 |
28,87 |
31,53 |
34,81 |
37,16 |
42,31 |
19 |
6,84 |
7,63 |
8,91 |
10,12 |
11,65 |
27,20 |
30,14 |
32,85 |
36,19 |
38,58 |
43,82 |
20 |
7,43 |
8,26 |
9,59 |
10,85 |
12,44 |
28,41 |
31,41 |
34,17 |
37,57 |
40,00 |
45,31 |
21 |
8,03 |
8,90 |
10,28 |
11,59 |
13,24 |
29,62 |
32,67 |
35,48 |
38,93 |
41,40 |
46,80 |
22 |
8,64 |
9,54 |
10,98 |
12,34 |
14,04 |
30,81 |
33,92 |
36,78 |
40,29 |
42,80 |
48,27 |
23 |
9,26 |
10,20 |
11,69 |
13,09 |
14,85 |
32,01 |
35,17 |
38,08 |
41,64 |
44,18 |
49,73 |
24 |
9,89 |
10,86 |
12,40 |
13,85 |
15,66 |
33,20 |
36,42 |
39,36 |
42,98 |
45,56 |
51,18 |
25 |
10,52 |
11,52 |
13,12 |
14,61 |
16,47 |
34,38 |
37,65 |
40,65 |
44,31 |
46,93 |
52,62 |
26 |
11,16 |
12,20 |
13,84 |
15,38 |
17,29 |
35,56 |
38,89 |
41,92 |
45,64 |
48,29 |
54,05 |
27 |
11,81 |
12,88 |
14,57 |
16,15 |
18,11 |
36,74 |
40,11 |
43,19 |
46,96 |
49,64 |
55,48 |
28 |
12,46 |
13,56 |
15,31 |
16,93 |
18,94 |
37,92 |
41,34 |
44,46 |
48,28 |
50,99 |
56,89 |
29 |
13,12 |
14,26 |
16,05 |
17,71 |
19,77 |
39,09 |
42,56 |
45,72 |
49,59 |
52,34 |
58,30 |
30 |
13,79 |
14,95 |
16,79 |
18,49 |
20,60 |
40,26 |
43,77 |
46,98 |
50,89 |
53,67 |
59,70 |
35 |
17,19 |
18,51 |
20,57 |
22,47 |
24,80 |
46,06 |
49,80 |
53,20 |
57,34 |
60,27 |
66,62 |
40 |
20,71 |
22,16 |
24,43 |
26,51 |
29,05 |
51,81 |
55,76 |
59,34 |
63,69 |
66,77 |
73,40 |
45 |
24,31 |
25,90 |
28,37 |
30,61 |
33,35 |
57,51 |
61,66 |
65,41 |
69,96 |
73,17 |
80,08 |
50 |
27,99 |
29,71 |
32,36 |
34,76 |
37,69 |
63,17 |
67,50 |
71,42 |
76,15 |
79,49 |
86,66 |
75 |
47,21 |
49,48 |
52,94 |
56,05 |
59,79 |
91,06 |
96,22 |
100,84 |
106,39 |
110,29 |
118,60 |
100 |
67,33 |
70,06 |
74,22 |
77,93 |
82,36 |
118,50 |
124,34 |
129,56 |
135,81 |
140,17 |
149,45 |